命題１

　もし、連続して比例する任意個の数があり、それらの外項が互いに素であれば、そのとき、これらの数は同じ比をもつ数の中で最小である。

　連続して比例する任意個の数A、B、C、Dがあり、それらの外項AとDが互いに素であるとせよ。

　A、B、C、Dが同じ比をもつ数の中で最小であると主張する。

　もしそうでなければ、E、F、G、HをA、B、C、Dより小さく、同じ比であるとせよ。

　今、A、B、C、DはE、F、G、Hと同じ比で、A、B、C、Dの個数とE、F、G、Hの個数は等しいので、それゆえに、等間隔比により、AはDに対して、EはHに対する。proposition�Z．１４

　しかし、AとDは互いに素で、素であるものは最小で、最小の数は同じ比をもつ数を、大きいほうは大きいほうを、小さいほうは小さいほうを、つまり、前項は前項を、後項は後項を割り切り、その商は同じである。proposition�Z．２１

　それゆえに、AはEを割り切り、大きいほうが小さいほうを割り切り、不可能である。proposition�Z．２０

　それゆえに、A、B、C、Dより小さいE、F、G、Hは同じ比ではない。

　それゆえに、A、B、C、Dは同じ比をもつ数のうちで最小の数である。

　それゆえに、もし、連続して比例する任意個の数があり、それらの外項が互いに素であれば、そのとき、これらの数は同じ比をもつ数の中で最小である。

証明終了

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